Question

已知圆C：x²+y²-6x+8y=0．
（1）求过点A（7，-1）与圆C相切的直线的方程；
（2）过点P（2，0）作直线l，与C的距离等于1，求l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）设过点A（7，-1）与圆C相切的直线的方程为kx-y-7k-1=0，由点到直线的距离公式能求出切线方程．
（2）过点P（2，0）作直线l，若直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2；当l的斜率存在时，设l的方程为y=m（x-2），由此利用点到直线的距离公式能求出l的方程．

解答： 解：（1）设过点A（7，-1）与圆C相切的直线的方程为y+1=k（x-7），即kx-y-7k-1=0，
∵圆C：x²+y²-6x+8y=0的圆心C（3，-4），半径r=

1

2

36+64

=5，
∴圆心C（3，-4）到直线kx-y-7k-1=0的距离：
d=

|3k+4-7k-1|

k2+1

=5，
解得k=-

4

3

，
∴切线方程为y+1=-

4

3

(x-7)，即4x+3y-30=0．
当切线斜率不存在时，直线x=7不成立，
∴过点A（7，-1）与圆C相切的直线的方程为4x+3y-30=0．
（2）过点P（2，0）作直线l，
若直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，
与C（3，-4）的距离为1，成立；
当l的斜率存在时，设l的方程为y=m（x-2），即mx-y-2m=0，
则

|3m+4-2m|

m2+1

=1，解得m=-

15

8

，
∴y=-

15

8

(x-2)．
∴l的方程为x=2或y=-

15

8

(x-2)．

点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．