Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有下列命题：
①存在直线l₁与正方体的所有棱都成等角α₁，且tanα₁=

2

；
②存在直线l₂与正方体的各面都成等角α₂，且tanα₂=

2

2

；
③存在平面M₁与正方体的各条棱所成的角都等于α₃，且sinα₃=

3

3

；
④存在平面M₂与正方体的各面所成的锐角都等于α₄，且sinα₄=

6

3

．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间角,简易逻辑

分析：取正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
①根据线线角的定义，结合正方体的12条棱，实际上就是三组平行直线，因此只要研究过一个顶点的三条棱即可，据此分析；
②同样的道理根据线面角的定义，结合六个表面，其实是三组平行平面，只需考虑过同一顶点的三个面即可；
③取平面A₁C₁B，可以判断，它与各棱所成的角都相等，要求该角的正弦值，只需研究正三棱锥B₁-A₁C₁B即可；
④取平面A₁C₁B，可以判断，它与各面所成的锐角都相等，要求该角的正弦值，只需研究正三棱锥B₁-A₁C₁B即可．

解答： 解：做出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，

设正方体棱长为1．在正方体中连接DB₁，交平面A₁BC₁于O，易知DB₁⊥面A₁BC₁，且O是正三角形A₁BC₁的中心，连接A₁O并延长交BC₁于M，则M是BC₁的中点，连接B₁M，则B₁M⊥BC₁．
因此对于①，存在直线DB₁与各条棱所成的角相等，且在直角三角形A₁OB₁中，B₁O=

1

3

DB₁=

3

3

，A1O=

2

3

AM=

2

3

×

3

2

A1B=

6

3

，∴tanα₁=

A1O

B1O

=

2

，故①正确；
对于②，存在直线B₁D与各个面所成的角相等，则∠OB₁M就是所求，易知α₂=∠OB₁M=∠A₁B₁M，所以tanα₂=

B1M

A1B1

=

2

2

，故②正确；
对于③，∠B₁A₁O的大小就是平面A₁BC₁与所有12条棱所成的锐角的大小，在直角三角形A₁B₁M中，A₁M=

A1B12+B1M2

=

6

2

，∴sinα2=

B1M

A1M

=

3

3

，故③正确；
对于④，存在平面A₁C₁B与各个面所成的二面角相等，且∠B₁MA₁就是所求角的平面角，易知sinα₄=

A1B1

A1M

=

1

6 2

=

6

3

，故④正确．
故答案为①②③④

点评：本题综合考查了线线角、线面角、二面角的概念及求法，并且有一定难度，注意先将所求的角转化为平面角再求解．