Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
（Ⅰ）求

b

a

的取值范围；
（Ⅱ）当b=3a时，讨论f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用函数的导数，通过函数的极值导数为0，求出c以及

b

a

的表达式，然后求解取值范围；
（Ⅱ）b=3a时，利用-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，化简函数的表达式，通过函数的导数，分a大于0以及小于0，利用导函数的符号，即可分类讨论f（x）的单调性，求出单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a，当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a，得到

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=ax³+bx²+cx+d，所以f'（x）=3ax²+2bx+c．
又f（x）在x=0处有极值，所以f'（0）=0即c=0…（2分）
所以f'（x）=3ax²+2bx令f'（x）=0所以x=0或x=-

2b

3a

---------（3分）
又因为f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上是单调且单调性相反
所以-4≤-

2b

3a

≤-2所以3≤

b

a

≤6-------------------------------（6分）
（Ⅱ）因为b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，
所以f（-2）=-8a+12a+d=0，所以d=-4a，从而f（x）=ax³+3ax²-4a．
所以f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=-2．------------------（8分）
列表如下：

x	-3	（-3，-2）		-2	（-2，0）		0	（0，2）		2
		a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＜0	a＞0
f'（x）		+	-	0	-	+	0	+	-
f（x）	-4a	↗	↘	0	↘	↗	-4a	↗	↘	16a

单调区间：a＞0时，函数的单调增区间为：（-3，-2），（-2，0）；单调减区间：（0，2）
a＜0时，函数的单调增区间为：（0，2）；单调减区间：（-3，-2），（-2，0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a-----------------------（10分）
从而

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

----------------------------------------（12分）
即0＜a≤

1

8

或-

3

16

≤a＜0
所以存在实数a∈[-

3

16

，0)∪(0，

1

8

]，满足题目要求．…（13分）

点评：本题考查含有参数的函数的导数的应用，函数的单调区间，最值的求解，考查分类讨论，转化思想的应用，难度比较大．