Question

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）的对称轴方程．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，从而可求函数f（x）的最小正周期单调区间等．

解答： 解：∵sin²x=

1

2

（1-cos2x），
∴f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

）-1；
（1）f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（3）令sin（2x+

π

4

）=±1，得2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

8

，
∴函数f（x）的对称轴方程是x=

kπ

2

+

π

8

．

点评：考查了二倍角的三角函数公式和辅助角公式，以及三角函数周期求法等知识，考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性以及最值．