Question

如图所示，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）画出图形，结合图形，连接AC，交BD于O，连OE，易证OE∥PA，即证PA∥平面BDE；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
求出平面DEC的法向量

DA

，平面DBE的法向量

n

，利用法向量求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答： 解：（1）证明：如图所示，连接AC，交BD于O，连OE，
∵E是PC的中点，O是AC的中点，
∴OE∥PA； 
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
令PD=DC=1，则平面DEC的法向量是

DA

=（1，0，0），
设平面DBE的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

DB

，

n

⊥

DE

，
且

DB

=（1，1，0），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）；
∴

1•x+1•y+0•z=0 0•x+ 1 2 •y+ 1 2 •z=0

，
得

n

=（1，-1，1）；
cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |×| n |

=

1×1-1×0+1×0

1× 3

=

3

3

，
由题意知二面角B-DE-C的平面角为锐角，
∴二面角B-DE-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了空间直角坐标系以及空间向量的应用问题，是中档题目．