Question

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．
(Ⅰ)求双曲线的方程；
(Ⅱ)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 双曲线的方程为：； (Ⅱ) 为定值，定值为．

试题分析：(Ⅰ)根据抛物线的焦点为，得出双曲线的焦点为、，再设在抛物线上，根据，结合抛物线的定义得，的值，最后根据双曲线定义结合点A在双曲线上，得，可求双曲线方程； (Ⅱ)设圆的方程为：，根据双曲线的渐近线方程和直线与圆相切的条件，得圆的半径为，从而求出圆的方程．过点P作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线l₁和l₂，设其中的一条斜率为，则另一条的斜率为，利用直线的点斜式方程，将直线和的方程与圆方程联解，可以得出弦长为s和t关于k的表达式，将其代入进行化简，可以得到定值．
试题解析：(Ⅰ)∵抛物线的焦点为，
∴双曲线的焦点为、，                         1分
设在抛物线上，且，
由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，      3分
∴，                              4分
又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：
，∴，∴双曲线的方程为：．          6分
(Ⅱ)为定值．下面给出说明．
设圆的方程为：，∵圆与直线相切，
∴圆的半径为，故圆：．       7分
显然当直线的斜率不存在时不符合题意，                     8分
设的方程为，即，
设的方程为，即，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离为，                      10分
∴直线被圆截得的弦长，       11分
直线被圆截得的弦长，         12分
∴，故为定值．           13分