Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x－6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A， B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）该直线存在，其方程为.

试题分析：（Ⅰ）曲线与轴的交点为，
与轴的交点为，
故可设的圆心为，
则有，
解得
则圆的半径为，
所以圆的方程为               4分
（Ⅱ）假设直线存在，依题意，设直线方程为，
并设，
由，消去
得到方程
由已知可得，判别式
因此，
从而，   ①
由于，可得
又，
所以    ②
由①，②得，满足
所以该直线存在，其方程为           8分
点评：中档题，中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。恰当的运用圆中的“特征三角形”，转化成点到直线的距离问题，更为简洁。对存在性问题，常常是先假设存在，应用已知条件，确定其存在性，达到解体目的。本题较难。