Question

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点为直线上的点，求直线的方程；
(Ⅲ) 当点在直线上移动时，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

试题分析： (1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.
试题解析：（1）依题意，解得（负根舍去） （2分）
抛物线的方程为； （4分）
（2）设点,，由,即得. 
∴抛物线在点处的切线的方程为，即.       （5分）
因为在切线上且所以，
从而同理，，    （6分）
不妨取，所以，   （7分）
又，∴直线 的方程为              （8分）
（3）依据（2）由 得，                   （9分）
于是，                  （10分）
所以
又，所以， （11分）
从而                                        （12分）