题目内容
若在一个三棱锥S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，则我们称这样的三棱锥为直角三棱锥（也有称三直三棱锥）．在下列关于直角三棱锥S-ABC的相关说法中：
①若SA=a，SB=b，SC=c，顶点S到底面ABC的距离为h，则
=
+
+
；
②若侧面SAB、SAC、SBC的面积分别为S1、S2、S3，底面ABC的面积为S0，则S02=S12+S22+S32
③设侧棱SA、SB、SC与底面ABC所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ
④设侧面SAB、SAC、SBC与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2；
其中正确的说法有 （填番号）
①若SA=a，SB=b，SC=c，顶点S到底面ABC的距离为h，则
| 1 |
| h2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
②若侧面SAB、SAC、SBC的面积分别为S1、S2、S3，底面ABC的面积为S0，则S02=S12+S22+S32
③设侧棱SA、SB、SC与底面ABC所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ
④设侧面SAB、SAC、SBC与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2；
其中正确的说法有
考点：命题的真假判断与应用,棱锥的结构特征
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：画出图形，结合图形，推导证明出①、②是否正确；
利用特殊值代入法，求出③、④中的值，从而判定它们是否正确．
利用特殊值代入法，求出③、④中的值，从而判定它们是否正确．
解答：
解：如图所示，
对于①，∵SA、SB、SC两两互相垂直，∴SA⊥平面SBC．
设SD在平面SBC内部，且SD⊥BC，
由已知有：SD=
，h=SH=
，
∴h2=
，
即
=
+
+
，∴①正确；
对于②，设SA=a，SB=b，SC=c，
∵H为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，
又∵SA、SB、SC两两垂直，
∴S1=
ab，S2=
bc，S3=
ac，S0=
BC•AD，
∴S12+S22+S32=
（ a2 b2+b2 c2+a2 c2）=
a2（b2+c2）+
b2 c2…①；
又∵在Rt△BSC中，SD⊥BC，
∴SB2•SC2=b2 c2=SD2•BC2=SD2•（b2+c2）…②；
∴②代入①得：S12+S22+S32=
（b2+c2）•AD2=
BC2•AD2=S02，∴②正确；
对于③，各侧棱与底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
设三棱锥是一个正方体的一部分，且三条棱长分别SA=SB=SC=1，由此求出
cos2α+cos2β+cos2γ=
+
+
=3×(
×
)2=2，∴③错误；
对于④，各侧面与底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
设三棱锥是一个正方体的一部分，且三条棱长分别SA=SB=SC=1，由此求出
cos2α+cos2β+cos2γ=
+
+
=3×(
)2=1，∴④错误．
以上正确的说法是①②．
故答案为：①②．
对于①，∵SA、SB、SC两两互相垂直，∴SA⊥平面SBC．
设SD在平面SBC内部，且SD⊥BC，
由已知有：SD=
| bc | ||
|
| a•SD | ||
|
∴h2=
| a2b2c2 |
| a2b2+b2c2+c2a2 |
即
| 1 |
| h2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
对于②，设SA=a，SB=b，SC=c，
∵H为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，
又∵SA、SB、SC两两垂直，
∴S1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S12+S22+S32=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
又∵在Rt△BSC中，SD⊥BC，
∴SB2•SC2=b2 c2=SD2•BC2=SD2•（b2+c2）…②；
∴②代入①得：S12+S22+S32=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
对于③，各侧棱与底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
设三棱锥是一个正方体的一部分，且三条棱长分别SA=SB=SC=1，由此求出
cos2α+cos2β+cos2γ=
| AH2 |
| SA2 |
| BH2 |
| SB2 |
| CH2 |
| SC2 |
| 2 |
| 3 |
| ||||
| 2 |
对于④，各侧面与底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
设三棱锥是一个正方体的一部分，且三条棱长分别SA=SB=SC=1，由此求出
cos2α+cos2β+cos2γ=
| DH2 |
| SD2 |
| EH2 |
| SE2 |
| FH2 |
| SF2 |
| ||||||||
|
以上正确的说法是①②．
故答案为：①②．
点评：本题考查了棱锥的结构特征的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，适当地利用特殊值，可以化简解答过程，是难题．
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