Question

已知下列命题：
①函数y=sin（-2x+

π

3

）的单调增区间是[-kπ-

π

12

，-kπ+

5π

12

]（k∈Z）．
②要得到函数y=cos（x-

π

6

）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动

π

3

个单位长度．
③已知函数f（x）=2cos²x-2acosx+3，当a≤-2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．
④y=sinωx（ω＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则ω≥

399

2

π．
⑤函数y=lg（1-tanx）的定义域是（kπ-

π

2

，kπ+

π

4

）（k∈Z）
其中正确命题的序号是

 

．（将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：①运用-α的诱导公式，再令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解出即可；
②运用

π

2

+α的诱导公式，y=cos（x-

π

6

）即y=sin（x+

π

3

），再由图象平移规律，即可判断；
③令cosx=t∈[-1，1]，y=2t²-2at+3，对称轴t=

a

2

，当a≤-2时，

a

2

≤-1，区间[-1，1]为增区间，即可得到最小值；
④由条件得到

3

4

T+99T≤1，再由周期公式，即可得到；
⑤1-tanx＞0，即tanx＜1，由正切函数的图象即可得到定义域．

解答： 解：①函数y=sin（-2x+

π

3

）=-sin（2x-

π

3

），令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
则kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，即函数的单调增区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，故①错；
②要得到函数y=cos（x-

π

6

）即y=sin（x+

π

3

）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动

π

3

个单位，故②正确；
③已知函数f（x）=2cos²x-2acosx+3，令cosx=t∈[-1，1]，y=2t²-2at+3，
对称轴t=

a

2

，当a≤-2时，

a

2

≤-1，区间[-1，1]为增区间，最小值为g（a）=5+2a，故③正确；
④y=sinωx（ω＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则

3

4

T+99T≤1，即T≤

4

399

，ω=

2π

T

≥

399

2

π．
故④正确；
⑤1-tanx＞0，即tanx＜1．则kπ-

π

2

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查正弦函数的单调性，图象的平移，可化为二次函数的最值，函数的周期性，以及正切函数的定义域等知识，属于中档题．