Question

将函数y=3sin（2x+φ），|φ|＜

π

2

的图象向左平移

π

3

个得到偶函数y=f（x）的图象．
（1）求y=f（x）解析式；
（2）求y=f（x）的最大值及单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式求得f（x）=3cos2x．
（2）（2）由f（x）的解析式，可得它的最大值，令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

解答： 解：（1）将函数y=3sin（2x+φ），|φ|＜

π

2

的图象向左平移

π

3

个得到函数y=3sin[2（x+

π

3

）+φ）的图象，
故偶函数y=f（x）=3sin（2x+

2π

3

+φ），∴

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，∴φ=-

π

6

，f（x）=3sin（2x+

2π

3

-

π

6

）=3cos2x．
（2）由f（x）=3cos2x，可得它的最大值为3，令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故函数f（x）的增区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．

点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．