Question

已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.

Answer 1

（1）抛物线C的方程为；（2）详见解析．

试题分析：（1）求抛物线C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直线与轴的交点为抛物线C的焦点，又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点，设交点为，则，故，即，解得，从而可得抛物线C的方程；（2）,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动，找出交点点的坐标即可，故需求出过两点的切线的方程，而与有关，故可设出直线AB的方程为（斜率一定存在），再设出,，利用三点共线可得，，再由导数的几何意义，求出斜率，得过点的切线方程为:，过点的切线方程为:，解出，结合，得，即得，从而得证。
试题解析：（1）直线与轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点,,
所以抛物线C的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为,
又设,
共线,,
,,同理可求
,过点的切线的斜率为,切线方程为:,
同理得过点的切线方程为:,联立得:
由
,即点Q在定直线上运动.