Question

如图所示,已知椭圆的两个焦点分别为、,且到直线的距离等于椭圆的短轴长.

(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若圆的圆心为(),且经过、,是椭圆上的动点且在圆外,过作圆的切线,切点为,当的最大值为时,求的值.

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ)求椭圆的标准方程，“先定位后定量”，由题知焦点在轴，且，由点到直线的距离求，再由求，进而写出椭圆的标准方程；(Ⅱ)圆的圆心为，半径为，连接，则，设点，在中，利用勾股定理并结合，表示，其中，转化为自变量为的二次函数的最值问题处理.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的方程为(),依题意,,所以 ，又,所以,所以椭圆的方程为.
(Ⅱ) 设(其中), 圆的方程为,因为,
所以，当即时,当时,取得最大值,且,解得(舍去).
当即时,当时,取最大值,且,解得,又,所以.
综上,当时,的最大值为.