Question

6．已知点A（0，2），B（4，0），C（-2，1），若直线CD与直线AB相交，且交点D在线段AB上，直线CD的斜率为k，求$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$的取值范围（　　）

• A． .$（2，\frac{10}{3}）$
• B． $（-∞，\frac{10}{3}）$
• C． $[2，\frac{10}{3}]$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 画出图形，根据图形得出直线CD的斜率k满足k_BC≤k≤k_AC；求出k_CA，k_CB，通过基本不等式的性质求出其范围即可．

解答 解：如图示：
直线AC的斜率为：$\frac{2-1}{0-（-2）}$=$\frac{1}{2}$，
直线BC的斜率是：$\frac{0-1}{4-（-2）}$=-$\frac{1}{6}$；
（2）∵点D在线段AB上（包括端点）移动，
∴直线CD的斜率为k：-$\frac{1}{6}$≤k≤$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{3}$≤k+$\frac{1}{2}$≤1，
∴$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$≥2$\sqrt{（k+\frac{1}{2}）•（\frac{1}{k+\frac{1}{2}}）}$=2，
当k+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$时：$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$取到最大值$\frac{10}{3}$，
故选：C．

点评 此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，直线的斜率的问题，解题时应画出图形，结合图形，得出结论，从而解答问题．