Question

已知函数.
（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）当，时，求证：.

Answer 1

(1) 
(2) 
(3)根据数列的求和来放缩法得到不等式的证明关键是对于的运用。

试题分析：解：（1），   
当时，；当时，；
函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数   3分
当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.
，解得.        5分
（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：.            10分
（另解：，，
令，所以，当时，
当时，；当时，
当时，函数取得极大值为
当方程有实数解时，.）
（3）函数在区间为减函数，而，
，即                     
   12分
即，
而，结论成立.    16分
点评：根据导数的符号判定函数的单调性，是解决该试题的关键，同时能结合函数与方程的思想求解方程的根，属于中档题。