Question

已知点A（2，5），直线l：2x-3y-2=0，点M与点A关于l对称，
（1）求点M的坐标；
（2）若点B，C分别在直线l与y轴上运动，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程,两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）设点M的坐标为（a，b），由垂直平分可得

2• a+2 2 -3• b+5 2 -2=0 b-5 a-2 • 2 3 =-1

，解方程组可得；
（2）由（1）知点A关于l的对称点M（6，-1），又可得A关于y轴的对称点N（-2，5），由对称性可知△ABC周长的最小值即为MN的距离，由距离公式可得．

解答： 解：（1）设点M的坐标为（a，b），
则

2• a+2 2 -3• b+5 2 -2=0 b-5 a-2 • 2 3 =-1

，
化简可得

2a-3b-15=0 3a+2b-16=0

，
解得

a=6 b=-1

，即M坐标为（6，-1）；
（2）由（1）知点A关于l的对称点M（6，-1），
又可得A关于y轴的对称点N（-2，5），
由对称性可知△ABC周长c=AB+BC+CA当M、B、C、N四点共线时取值最小值，
此时c=MB+BC+CN=MN=

(-2-6)2+(5+1)2

=10

点评：本题考查直线的对称性，涉及方程组的解法和垂直关系，属中档题．