Question

6．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚$64\frac{31}{32}$，6天后两只老鼠打穿城墙．

Answer 1

分析 由题意，n天后两只老鼠打洞之和：S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，由墙厚$64\frac{31}{32}$，能求出结果．

解答 解：由题意，n天后两只老鼠打洞之和：
S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=${2}^{n}-1+2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，
∵墙厚$64\frac{31}{32}$，
∴S_n=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$=$64\frac{31}{32}$，
解得n=6．
故答案为：6．

点评 本题考查等比数列的前n项和的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．