Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a₃=10．若{a_n+1-a_n}是等比数列，则$\sum_{i=1}^{10}{a}_{i}$=3×2ⁿ-2n-3．

Answer 1

分析 a₂-a₁=4-1=3，a₃-a₂=10-4=6，可得{a_n+1-a_n}是等比数列，a_n+1-a_n=3×2^n-1．再利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）可得a_n，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：a₂-a₁=4-1=3，a₃-a₂=10-4=6，
∴{a_n+1-a_n}是等比数列，首项为3，公比为2．
∴a_n+1-a_n=3×2^n-1．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3×2+…+3×2^n-2
=1+3×$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$
=3×2^n-1-2．
则$\sum_{i=1}^{10}{a}_{i}$=$3×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2n=3×2ⁿ-2n-3．
故答案为：3×2ⁿ-2n-3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．