Question

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四边形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，AB=2，点M是DF的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AMC，
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过三角形的中位线得到线线平行，进一步利用线面平行的判定得到结论．
（Ⅱ）首先做出二面角的平面角，进一步利用相关的三角形相似，线面垂直的性质求得相关的线段长，最后求得结论．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，BD交与点O，连接OM
由于：M、O是FD、AC的中点，
所以：OM∥FB
BF?平面MAC，OM?平面MAC
所以：BF∥平面AMC．
（Ⅱ）在平面ABEF中，过E点做EG⊥AD于G，过G做GH⊥AC于H，连接EH，
所以：∠EHG是二面角B-AC-E的平面角．
由于：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四边形ABEF是梯形，
∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，AB=2，
所以：利用△AGH∽△ACB
解得：GH=

5

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EG=1
在Rt△EGH中，tan∠EHG=

5

所以：cos∠EHG=

30

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点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的性质，二面角平面角的做法，三角形的相似，及相关的运算，属于基础题型．