Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]
（1）求y=[f（x）]²+f（x²）的定义域；
（2）求y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及当y取最大值时x的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）得到函数的解析式，由

1≤x≤9 1≤x2≤9

求得函数的定义域；
（2）令u=log₃x换元，然后利用配方法求函数的最大值并求得当y取最大值时x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2+log₃x，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）
=log₃²x+6log₃x+6=（log₃x+3）²-3．
∵函数f（x）的定义域为[1，9]，
∴要使函数y=[f（x）]²+f（x²）有定义，
则

1≤x≤9 1≤x2≤9

，∴1≤x≤3，
即函数定义域为[1，3]；
（2）令u=log₃x，则0≤u≤1．
y=（log₃x+3）²-3=（u+3）²-3，
又∵函数y=（u+3）²-3在[-3，+∞）上是增函数，
∴当u=1时，函数y=（u+3）²-3有最大值13．
即当log₃x=1，x=3时，函数y=[f（x）]²+f（x²）有最大值为13．

点评：本题考查了复合函数定义域的求法，考查了复合函数的单调性，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．