Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=BC=CA=

3

，AA₁=2

2

，则该三棱柱外接球的体积等于（　　）

• A、2

  3

  π
• B、6π
• C、4

  3

  π
• D、12π

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：作出三棱柱ABC-A₁B₁C₁；该三棱柱外接球的球心O在正三棱柱的中心，在直角三角形中求值．

解答： 解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵侧棱垂直于底面，AB=BC=CA=

3

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱；
该三棱柱外接球的球心O在正三棱柱的中心，如图
R=OA₁，
在Rt△ODA₁中，
OD=

1

2

AA₁=

1

2

•2

2

=

2

，
A₁D=

2

3

•

3

•

3

2

=1，
则R=0A₁=

2 2+12

=

3

．
该三棱柱外接球的体积v=

4

3

•πR3
=

4

3

•π•

3

3=4

3

π．

点评：考查了学生的空间想象力．