Question

设函数f（x）=

1

x

-x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m＜-1
• B、0＜m＜1
• C、m＜-1或0＜m＜1
• D、-1＜m＜0

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：已知f（x）为减函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论，注意运用参数分离法，求函数的最小值，即可得出答案．

解答： 解：已知f（x）为减函数且m≠0，x≥1，有f（x）≤f（1）=0
当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为减函数，
此时不符合题意．
当m＜0时，有（

1

mx

-mx）+

m

x

-mx＜0，
即有1+

1

m2

＜2x²，
因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
所以1+

1

m2

＜2，
即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
故选A．

点评：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于中档题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．