Question

设函数f（x）=（1+x）^α的定义域是[-1，+∞），其中常数α＞0．（注：f′（x）=α（1+x）^α-1）
（1）若α＞1，求y=f（x）的过原点的切线方程．
（2）证明当α＞1时，对x∈（-1，0），恒有1+αx＜f（x）＜α（1+x）．
（3）当α=4时，求最大实数A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax²对x＞0恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，求出切线斜率，即可求y=f（x）的过原点的切线方程．
（2）令h（x）=f（x）-ax，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论；
（3）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，则g（0）=0，且g′（x）=4（1+x）³-4-2Ax，显然有g′（0）=0，且g″（x）=12[（1+x）²-

A

6

]，分类讨论，可得结论．

解答： （1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1．若切点为原点，由f′（0）=α知切线方程为y=αx+1；
若切点不是原点，设切点为P（x₀，（1+x₀）^α），由于f′（x₀）=α（1+x₀）^α-1，
故由切线过原点知[-1，+∞）内有唯一的根x₀=

1

α-1

．
故切线方程为y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)α．
综上所述，所求切线有两条，方程分别为y=αx+1和y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)α．
（2）证明：当a＞1时，令h（x）=f（x）-ax，则h′（x）=α[（1+x）^α-1-1]，
故当x∈（-1，0）时恒有h′（x）＜0，即h（x）在[-1，0]单调递减，故h（0）＜h（x）＜h（-1）对x∈（-1，0）恒成立．
又h（-1）=a，h（0）=1，故1＜h（x）＜a，即1+αx＜f（x）＜α（1+x）．
（3）解：令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，则g（0）=0，且g′（x）=4（1+x）³-4-2Ax，
显然有g′（0）=0，且g″（x）=12[（1+x）²-

A

6

]
若A≤6，则

A

6

≤1，易知（1+x）²＞1对x＞0恒成立，从而对x＞0恒有g″（x）＞0，即g′（x）在[0，+∞）单调增，从而g′（x）＞g′（0）=0对x＞0恒成立，从而g（x）在[0，+∞）单调增，g（x）＞g（0）=0对x＞0恒成立．
若A＞6，则

A

6

＞1，存在x₀＞0使得（1+x）²＜

A

6

对x∈（0，x₀）恒成立，即g″（x）＜0对x∈（0，x₀）恒成立，
再由g′（0）=0知存在x1＞0，使得g′（x）＜0对x∈（0，x₁）恒成立，再由g（0）=0便知g（x）＞0不能对x＞0恒成立．
综上所述，所求A的最大值是6．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数，求导数是关键．