Question

8．若直线y=2x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{5}$）
• B． （$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线y=2x有交点，应有渐近线的斜率$\frac{b}{a}$＞2，再由离心率e=$\frac{c}{a}$═$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，可得e的范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由双曲线与直线y=2x有交点，
则有$\frac{b}{a}$＞2，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率的取值范围为（$\sqrt{5}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于中档题．