Question

10．数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n是其前n项和，已知a₂+a₃+a₅=20，且a₂、a₄、a₈成等比数列，记M=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．
（1）求M；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，已知T_n=2（b_n-1），试比较T_n与M+1的大小．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}是公差d不为零的等差数列，由等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，可得首项与公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到S_n，由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和，即可得到M；
（2）求出b₁，再由当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，化简可得数列{b_n}为首项和公比均为2的数列，由等比数列前n项和公式，可得T_n，运用数列的单调性和不等式的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}是公差d不为零的等差数列，
a₂+a₃+a₅=20，可得3a₁+7d=20，①
a₂、a₄、a₈成等比数列，可得a₄²=a₂a₈，
（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），②
由①②解得a₁=d=2，
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=2n+n（n-1）=n²+n，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
M=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$；
（2）T_n=2（b_n-1），
当n=1时，b₁=T₁=2（b₁-1），
解得b₁=2，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2（b_n-1）-2（b_n-1-1），
可得b_n=2b_n-1，
则数列{b_n}为首项和公比均为2的数列，
即有T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1），
由于T_n递增，n=1时，取得最小值2，
即T_n≥2，
又M+1=2-$\frac{1}{n+1}$＜2，
故T_n＞M+1．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．