Question

19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1≥0\\ x≤2\\ x+y-1≥0\end{array}\right.，z=|{x+2y-4}|$，则z的最大值与最小值之差为（　　）

• A． 5
• B． 1
• C． 4
• D． $\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，t=x+2y-4，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入求得t的范围，进一步得到z的范围得答案．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（2，-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（2，$\frac{3}{2}$）．
令t=x+2y-4，化为$y=-\frac{x}{2}+\frac{t}{2}+2$，
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{2}+\frac{t}{2}+2$过A时，t有最小值为-4；
过B时，t有最大值为1．
∴z的最大值为4，最小值为0，最大值与最小值之差为4．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．