题目内容
9．
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．
（2）求三棱锥C-B1D1F的体积．
分析 （1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；
（3）证明CF⊥平面BDD1B1，则V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$．
解答 
解：（1）连接BD1，
∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，
故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CDD1C1，
∴BC⊥CD1．
∵正方体棱长为2，∴CD1=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D1BC=$\frac{C{D}_{1}}{BC}$=$\sqrt{2}$，
所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．
（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，
∴BB1⊥CF，
∵CB=CD，F是BD中点，
∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1?平面BDD1B1，BD?平面BDD1B1，
∴CF⊥平面BDD1B1，
又CF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，S${\;}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{2}×{B}_{1}{D}_{1}×B{B}_{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$，
所以三棱锥C-B1D1F的体积为$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．
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