Question

8．对于函数f（x）=log${\;}_{2}^{2}$x-a•log₂x²，x∈[1，4]，a∈R．
（1）求函数f（x）的最小值g（a）；
（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n≥0；②当函数g（a）的定义域为[n，m]时，值域为[-m，-n]，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求函数的最值．
（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）设t=log₂x，
∵x∈[1，4]，
∴t∈[0，2]，
f（x）=t²-2at=（t-a）²-a²，
当t=a，即x=2^a时，f（x）_min=g（a）=-a²．…（6分）
（2）∵m＞n≥0，
∴g（a）=-a²在[0，∞）上为减函数，…（8分）
又∵g（a）的定义域为[n，m]，值域为[-m，-n]，
∴-n²=-n，-m²=-m，
∴m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．…（12分）

点评 本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，要求熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中档题．