Question

13．将长为$\sqrt{3}$、宽为1的矩形绕着它的一条对角线旋转一周所得到的几何体的体积为$\frac{7π}{9}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形得出旋转体的结构特征，利用旋转体的体积公式求出该几何体的体积．

解答 解：如图所示；
将矩形对角线右侧部分镜像至左侧，可视为左侧部分图形绕原矩形对角线旋转一周所成的几何体；其体积相当于半个矩形旋转体体积的两倍减去图中间阴影等腰三角形绕矩形对角线旋转所得几何体体积；
半个矩形绕对角线旋转所得几何体相当于两个对底圆锥：
底面半径 R=$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
两锥体合高 h₁+h₂=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
体积 v=$\frac{1}{3}$πR²•（h₁+h₂）=$\frac{1}{3}$π•${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$•2=$\frac{π}{2}$；
图中阴影等腰三角形底边即原矩形对角线 h=2，是旋转后所成几何体的两对底锥的加和高度；该对底锥底面半径就是等腰三角形的高 r=$\frac{2}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
旋转体体积V₁=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$π${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$•2=$\frac{2π}{9}$；
该矩形绕对角线旋转一周所得几何体的体积为
V_几何体=2v-V₁=2×$\frac{π}{2}$-$\frac{2π}{9}$=$\frac{7π}{9}$．
故答案为：$\frac{7π}{9}$．

点评 本题考查了旋转体的定义与结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是综合性题目