Question

1．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=2，求证：$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{c+1}$＜4．

Answer 1

分析 根据三维形式的柯西不等式便可得到$[（\sqrt{a+1}）^{2}+（\sqrt{b+1}）^{2}+（\sqrt{c+1}）^{2}][{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}]$$≥（\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}）^{2}$，从而便可得到$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}$，并且可知当a=b=c=$\frac{2}{3}$时取“=”，从而便可证出$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}＜4$．

解答 证明：根据柯西不等式：
$[（\sqrt{a+1}）^{2}+（\sqrt{b+1}）^{2}+（\sqrt{c+1}）^{2}][{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}]$$≥（\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}）^{2}$；
左边=3（a+b+c+3）=15；
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}$；
当且仅当$\frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+1}}{1}=\frac{\sqrt{c+1}}{1}$，即a=b=c=$\frac{2}{3}$时取“=”；
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}＜\sqrt{16}$；
即$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}＜4$．

点评 考查三维形式的柯西不等式公式：$（{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}）（{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+{{b}_{3}}^{2}）≥$$（{a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+{a}_{3}{b}_{3}）^{2}$，并且清楚等号成立的条件，放缩法在不等式证明中的应用．