Question

已知关于x的方程ax²-（2a-2）x+a+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程的两个根的倒数和等于0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得a≠0，且△＞0，解不等式可得；
（2）假设存在实数a满足题意，则a≤

1

3

且a≠0，由题意和韦达定理可得a的方程，解方程验证是否满足a≤

1

3

且a≠0可得结论．

解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程ax²-（2a-2）x+a+1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，且△=（2a-2）²-4a（a+1）＞0，解得a＜

1

3

，
∴a的取值范围为a＜

1

3

且a≠0；
（2）假设存在实数a满足题意，则a≤

1

3

且a≠0，
设两根为x₁，x₂，由韦达定理可得x₁+x₂=

2a-2

a

，x₁x₂=

a+1

a

，
若满足

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0，则

2a-2 a

a+1 a

=0，解得a=1，
这与a≤

1

3

且a≠0矛盾，故不存在这样的实数a

点评：本题考查二次函数的零点，涉及韦达定理，属基础题．