Question

7．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（Ⅰ） 求证：CM⊥EM；
（Ⅱ） 求CM与平面CAE所成角的大小；
（Ⅲ） 求平面ABC与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出线对应的向量的坐标，根据两个向量的数量积等于0，得到结论．
（Ⅱ）写出直线的方向向量，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，数量积等于0，得到两个关于法向量坐标的关系式，写出其中一个法向量，根据法向量与直线的夹角得到结果．
（Ⅲ）分别求出平面ABC的一个法向量与平面CDE的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
设AE=a，则M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以$\overrightarrow{CM}$=（a，-a，0），$\overrightarrow{EM}$=（a，a，-a），
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{EM}$=a×a+（-a）×a+0×（-a）=0，
∴CM⊥EM．
解：（2）平面CAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CM}$=（a，-a，0），
设CM与平面CAE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45°，
∴直线CM与平面CAE所成的角为45°．
（3）D（2a，0，2a），$\overrightarrow{CD}$=（2a，0，2a），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2a，a），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-2ay+az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=2ax+2az=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设平面ABC与平面CDE所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴平面ABC与平面CDE所成锐二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查空间位置关系的判断与证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．