Question

7．已知函数f（x）=3^x，g（x）=|x+a|-3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的图象关于直线x=2对称，则h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零点个数，就是函数G（x）=|3^x+a|与y=3的交点，
分①当0≤a＜3时；②当a≥3时；③-3≤a＜0时；④当a＜-3时，画出图象判断个数．

解答 解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的图象关于直线x=2对称，则h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零点个数，就是函数G（x）=|3^x+a|与y=3的交点，
①当0≤a＜3时，G（x）=|3^x+a|=3^x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；
②当a≥3时，G（x）=|3^x+a|=3^x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；
③-3≤a＜0时，G（x）=|3^x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；
④当a＜-3时，G（x）=|3^x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；
     
  

点评 本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．