Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3，b+c=6，则边a=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将cosA的值代入求出bc的值，由b、c及sinA的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，利用完全平方公式变形后，将b+c，bc及cosA的值代入，开方即可求出a的值．

解答 解：∵cosA=$\frac{3}{5}$，且A为三角形的内角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=3，∴bc=5，
∵b+c=6，bc=5，cosA=$\frac{3}{5}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA=36-10-6=20，
则a=2$\sqrt{5}$．
故选：C

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算，余弦定理，完全平方公式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．