Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=16．

Answer 1

分析 根据已知条件，作出图形，MN的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a即可求出|AN|+|BN|．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1焦点在x轴上，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，
设MN的中点为Q，椭圆C的左右焦点分别为F₁（-$\sqrt{7}$，0），F₂（$\sqrt{7}$，0），
如图，连接QF₁，QF₂，
∵F₁是MA的中点，Q是MN的中点，
∴F₁Q是△MAN的中位线；
丨QF₁丨=$\frac{1}{2}$丨AN丨，
同理：丨QF₂丨=$\frac{1}{2}$丨NB丨，
∵Q在椭圆C上，
∴|QF₁|+|QF₂|=2a=8，
∴|AN|+|BN|=16．
故答案为16．

点评 本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，三角形的中位线定理，属于中档题．