Question

5．数列{a_n}，{b_n}满足下列条件：a₁=0，a₂=1，a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$，b_n=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列．
（2）求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把数列递推式变形，得到即$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=-\frac{1}{2}$为定值，从而证明{b_n}是等比数列；
（2）由已知求出数列{b_n}的首项，代入等比数列的通项公式得答案．

解答 （1）证明：由a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$，得2a_n+2=a_n+a_n+1，
2a_n+2-2a_n+1=a_n-a_n+1，∴2（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n），
即$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\frac{1}{2}$，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=-\frac{1}{2}$为定值．
∴{b_n}是公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：∵a₁=0，a₂=1，∴b₁=a₂-a₁=1-0=1．
∴数列{b_n}的首项为1，公比为-$\frac{1}{2}$，
则${b}_{n}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．