Question

已知函数f（x）=ax³-2ax+3a-4在区间（-1，1）上有一个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a=

32

17

，用二分法求f（x）=0在区间（-1，1）上的解．（精确到0.1）

Answer 1

考点：二分法求方程的近似解,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题

分析：（1）令f（x）=0，得a=

4

x3-2x+3

（-1＜X＜1），g（x）=x³-2x+3，通过函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围；
（2）分别计算f（-1），f（1）取取中点x=0取x=

1

2

，则f（

1

2

）=0，从而求出方程的解．

解答： 解：（1）令f（x）=0，
∴a=

4

x3-2x+3

（-1＜x＜1），
令g（x）=x³-2x+3，
∴g′（x）=3x²-2=3（x+

6

3

）（x-

6

3

），
∴g（x）在（-1，-

6

3

）递增，在（-

6

3

，

6

3

）递减，在（

6

3

，1）递增，
又∵g（

6

3

）=3-

4 6

9

＜g（1）=2，
g（-

6

3

）=3+

4 6

9

＞f（-1）=4，
∴3-

4 6

9

≤g（x）≤3+

4 6

9

，
∴

12(27-4 6 )

211

≤a≤

12(27+4 6 )

211

，
即a的范围是：[

12(27-4 6 )

211

，

12(27+4 6 )

211

]．
（2）a=

32

17

时，f（x）=

32

17

（x³-2x+3）-4，
∵f（-1）=

32

17

×4-4=4×

15

17

＞0，f（1）=-

4

17

＜0，
取x=0，则f（0）=

28

17

＞0，∴零点在（0，1）上，
取x=

1

2

，则f（

1

2

）=

32

17

（

1

8

-1+3）-4=0，
∴x=0是f（x）=0的解．

点评：本题考查了求参数的范围问题，考查导数的应用，函数的单调性，考查二分法求方程的解的问题，是一道中档题．