题目内容
8．
如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=$\frac{1}{2}$PA，F为PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDF．
（2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．
分析 （1）取AC中点O，连结OF，由中位线定理得OF∥PC，故PC∥平面BDF；
（2）设BE=a，求出V1，V2．
解答 
（1）证明：连结BF，连接BD交AC与点O，连OF，
依题得O为AC中点，又F为PA的中点，
所以OF为△PAC中位线，所以OF∥PC
因为OF?平面BDF，PC?平面BDF
所以PC∥平面BDF．
（2）解：设BE=a，则PA=2BE=2a，
∴V1=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEP}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$（a+2a）×1×2=a．
V2=$\frac{1}{3}{S}_{△PAD}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2a×1$=$\frac{2a}{3}$．
∴$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$．
点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
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