Question

16．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．
（1）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率．
（2）重复上述过程3次后，记袋中白球的个数为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得当袋中有4个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有4个白球的概率．
（Ⅱ）由题意X的所有可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由题意得当袋中有4个白球时，
二次摸球恰好摸到一白球一黑球，
∴袋中有4个白球的概率P=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}+\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{35}{64}$．
（Ⅱ）由题意X的所有可能取值为3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{27}{512}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{185}{512}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{240}{512}$，
∴X的分布列为：

X	3	4	5	6
P	$\frac{27}{512}$	$\frac{185}{512}$	$\frac{240}{512}$	$\frac{60}{512}$

E（X）=$3×\frac{27}{512}+4×\frac{185}{512}+5×\frac{240}{512}+6×\frac{60}{512}$=$\frac{2381}{512}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．