Question

5．中心在坐标原点的双曲线C的两条渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，求出圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，设切线方程为y=kx，解方程可得k，进而得到双曲线的渐近线方程，再讨论双曲线的焦点位置，得到a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率．

解答 解：圆（x-2）²+y²=3的圆心为（2，0），半径为$\sqrt{3}$，
设切线方程为y=kx，
由$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±$\sqrt{3}$，
可得双曲线的渐近线的方程为 y=±$\sqrt{3}$x，
①当焦点在x轴上时双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2；
②当焦点在y轴上时，双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
即有$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 解题的关键是：由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．