Question

15．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折，得到如图2所示的空间图形（∠ADB为锐角）．

（1）求证：BC⊥平面ABD；
（2）若BC=2，当三棱锥A-BCE的体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求∠ABD的大小．

Answer 1

分析 （1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，即可证明BC⊥平面ABD；
（2）求出A到平面BCE的距离，即可求∠ABD的大小．

解答 （1）证明：由题意，DE∥BC，
∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，
∴DE⊥平面ADB，
∴BC⊥平面ABD；
（2）解：由题意，S_△BCE=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
设A到平面BCE的距离为h，则$\frac{1}{3}×1×h$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵AD=1，∴sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠ABD=60°．

点评 本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．