Question

15．已知$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$α+β≠\frac{π}{2}，sinβ=sinαcos（{α+β}）$．
（1）用tanα表示tanβ；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式的左边中的角β变为α+β-α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项整理后，在等式左右两边同时除以cos（α+β）cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，利用两角和的正切函数公式即可得解．
（2）由（1）及基本不等式即可计算得解．

解答 解：（1）∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinβ=sin（α+β-α）=cos（α+β）sinα，
即sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα，
移项得：sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
两边同时除以cos（α+β）cosα，得：tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，可得：tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．
（2）∵$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴由（1）可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
即tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的综合应用，熟练掌握公式及基本关系，灵活变换角度是解本题的关键，属于中档题．