Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*①
（1）求a₁的值；
（2）对①进行因式分解并求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

②

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得a₁的值；
（2）由数列递推式因式分解求得S_n，然后由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）把{a_n}的通项公式代入

1

an(an+1)

，整理后列项，利用裂项相消法求和后放缩证明数列不等式．

解答： （1）解：在S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0中，
取n=1，得a12+a1-6=0，
解得：a₁=2或a₁=-3．
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a₁=2；
（2）解：由S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，得
(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，
即Sn=n2+n．
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n．
验证n=1时上式成立，
∴a_n=2n；
（3）证明：由于

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
故

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

6

+

1

2

(

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

)＜

1

6

+

1

6

=

1

3

，
即

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了由数列的和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．