Question

讨论函数y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：观察解析式特点，只要换元，设t=sinx-cosx，将解析式变形为关于t的二次函数形式，然后讨论对称轴与区间的位置关系．

解答： 解：设t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），则sin2x=1-t²，
y=-at²+t+a，其对称轴为t=

1

2a

，
又x∈[0，π]，∴t∈[-1，

2

]，
①当

1

2a

≤

2

即a≥

2

4

时，
y=at²+t+a在[-1，

1

2a

]上是增函数，在[

1

2a

，

2

]上是减函数；
∴已知函数在[0，π]上的最大值为x=

1

2a

时，y_max=a+

1

4a

；
②当

1

2a

＞

2

即0＜a＜

2

4

时，已知函数在[-1，

2

]上为增函数，
∴已知函数在[0，π]上的最大值为

2

-a；
综上，当0＜a＜

2

4

时，函数y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值为

2

-a；
当a≥

2

4

时，函数y=sinx-cosx+asin2x，（a＞0）在[0，π]上的最大值为a+

1

4a

．

点评：本题考查了三角函数的化简与求值；关键是利用换元将问题转化为关于二次函数的最值问题；考查了讨论的思想．