Question

过点P（2，0）作直线l交椭圆

x2

2

+y²=1于不同两点A，B，设G为线段AB的中点，直线OG交于C，D．
（1）若点G的横坐标为

2

3

，求l的方程；
（2）设△ABD与△ABC的面积分别为S₁，S₂，求|S₁-S₂|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线为y=k（x-2）与椭圆

x2

2

+y²=1方程联立，得到
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0①运用两根与方程的系数关系求解得k的值，最后运用点的坐标求出直线方程．
（2）先求出|AB|长，OG方程，C，D坐标，再求出到直线AB的距离，用面积公式求即可．，

解答： 解：（1）设直线为y=k（x-2）与椭圆

x2

2

+y²=1方程联立，
得到：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0①
又因为若点G的横坐标为

2

3

，G为线段AB的中点
所以：x₁+x₂=

8k2

1+2k2

=

4

3

，k²=

1

4

，即k=±

1

2

，
x₁x₂=

8k2-2

2k2+1

，|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|
所以l的方程：y=±

1

2

（x-2）
（2）把k²=

1

4

代入①得3x²-4x=0，即x=0或x=

4

3

，
∵过点P（2，0）作直线l交椭圆

x2

2

+y²=1于不同两点A，B，设G为线段AB的中点，直线OG交于C，D．
∴根据韦达定理，弦长公式；知x₁x₂=

8k2-2

2k2+1

，|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|
所以|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

×

4

3

=

2 5

3

，
当k=-

1

2

时可得：x₁+x₂=

8k2

1+2k2

=

4

3

，∴x_G=

2

3

，代入y=-

1

2

×（x-2）=

2

3

G（

2

3

，

2

3

），直线OG的方程为：y=x，②
把②代入椭圆方程得：C（

6

3

6

3

），D（-

6

3

，-

6

3

），
三角形面积为：

1

2

×

1+k2

|x₁-x₂|×h=

5

4

×|x₁-x₂|×h=

5

3

×h
h₁=

6 -2

5

，h₂=

6 +2

5

，
可知|S₁-S₂|=

5

3

×|

6 -2

5

-

6 +2

5

|=

5

3

×

4

5

=

4

3

当k=

1

2

时，同理得：|S₁-S₂|=

5

3

×|

6 -2

5

-

6 +2

5

|=

5

3

×

4

5

=

4

3

所以综上可得：|S₁-S₂|=

4

3

．

点评：本题综合考查了运用方程解决直线和圆锥曲线的位置关系，及应用解决面积的问题，注意繁琐的运算．