Question

已知函数f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴交于点M（M异于原点），f（x）在M处的切线与直线x-y+10=0平行．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）已知非零实数t，求函数y=tg（x）-f（x）+x²，x∈[1，e]的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，f（x）在M处的切线与直线x-y+10=0平行，即可得a值，从而得到f（2）的值；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，结合其性质求出最值；
（Ⅲ）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x-a
由题意可得2a-a=1，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2                  …（3分）
（Ⅱ）y=tg（x）-f（x）+x²=tlnx+x，
∴y′=

t

x

+1，
t＞-1时，x∈[1，e]为增函数，x=1时，y_min=1；
-e≤t≤-1时，[1，t]为减函数，[t，e]为增函数，x=t时，y_min=tln（-t）-t；
t＜-e时，x∈[1，e]为减函数，x=e时，y_min=t+e；
∴ymin=

1，(t＞-1，t≠0) tln(-t)-t，(-e≤t≤-1) t+e，(t＜-e)

…（8分）
（Ⅲ）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，F′（x）=

x-1

x2

≥0
所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增      　　…（9分）
∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0
①当m∈（0，1）时，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的单调性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）  
从而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合题设．…（11分）
②当m≤0时，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的单调性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，与题设不符 …（12分）
③当m≥1时，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，与题设不符．…（13分）
∴综合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．