Question

1．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），λ∈（0，+∞），则直线AP通过△ABC的①②③④（请在横线上填入正确的编号）
①外心    ②内心    ③重心    ④垂心．

Answer 1

分析 设出BC的中点D，由题意可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=2$λ\overrightarrow{AD}$，可得A、P、D三点共线，进而可得答案．

解答 解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，
由向量的运算法则可得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$，
可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=2$λ\overrightarrow{AD}$，可得A、P、D三点共线，
又AB=AC，所以点P一定过△ABC的重心、外心、内心、垂心，
答案为：①②③④．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理和向量的共线定理．属中档题．