Question

12．已知${（3{x^2}-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中所有二项式系数和为64，则n=6；二项展开式中含x³的系数为-540．

Answer 1

分析 根据二项式展开式中所有二项式系数和求出n的值，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中含x³项的系系数．

解答 解：${（{3x}^{2}-\frac{1}{x}）}^{n}$展开式中所有二项式系数和为64，
∴2ⁿ=64，解得n=6；
∴${（{3x}^{2}-\frac{1}{x}）}^{6}$展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（3x²）^6-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•3^6-r•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令12-3r=3，解得r=3；
∴二项式展开式中含x³项的系数为（-1）³•3³•${C}_{6}^{3}$=-540．
故答案为：6，-540．

点评 本题考查了二项式系数和以及二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．