如图所示.A.B是两个垃圾中转站.B在A的正东方向16千米处.AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾.政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求:①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比.比例系数相同,②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：
①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；
②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．
（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）
（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

分析（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；
（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．

解答解：（1）由条件①，得$\frac{PA}{PB}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$，
∵PA=5x，∴PB=3x，
则$cos∠PAB=\frac{{{{（5x）}^2}+{{16}^2}-{{（3x）}^2}}}{2×16×5x}$，
可得$cos∠PAB=\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}$；
（2）由同角的平方关系可得$sin∠PAB=\sqrt{1-{{（{\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}}）}^2}}$，
所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，
$h=5x•\sqrt{1-{{（\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}）}^2}}$=$\sqrt{-\frac{1}{4}{{（{x^2}-34）}^2}+225}$，
∵cos∠PAB≤1，∴$\frac{x}{10}+\frac{8}{5x}≤1$，∴2≤x≤8，
所以当x²=34，即$x=\sqrt{34}$时，h取得最大值15千米．
即选址应满足$PA=5\sqrt{34}$千米，$PB=3\sqrt{34}$千米．

点评本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．