Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是△ABC所在平面内一点，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 以B为原点建立坐标系，设A（x，y），O（cosα，sinα），根据$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$列方程得出x，y与α的关系，求出|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|²关于α的函数f（α），利用导数求出f（α）的最小值．

解答 解：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，设C（x，0），A（x，y）．

∵|$\overrightarrow{OB}$|=1，∴O在单位圆B上．设O（cosα，sinα）．
则$\overrightarrow{BO}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{BA}$=（x，y），$\overrightarrow{BC}=（x，0）$．
∵$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα+ysinα=1}\\{xcosα=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα=\frac{1}{2}}\\{ysinα=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2cosα}}\\{y=\frac{1}{2sinα}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$=（2x+cosα，y+sinα）．
∴|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|²=4x²+y²+4xcosα+2ysinα+1=4x²+y²+4=$\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}+4$．
令f（α）=$\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}+4$．则f′（α）=$\frac{2sinα}{co{s}^{3}α}-\frac{cosα}{2si{n}^{3}α}$．
令f′（α）=0得4sin⁴α=cos⁴α．∴sin²α=$\frac{1}{3}$，cos²α=$\frac{2}{3}$．
∴f_min（α）=$\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+4$=$\frac{25}{4}$．
∴|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|的最小值为$\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，函数的最值，属于中档题．